OpenCV線性代數-秩,線性系統求解(1)

線性系統求解,也就是求線性聯立方程式(System Of Linear Eguation)的解,而它的秩(Rank)OpenCV裡面是沒有函式可以計算的,可是它可以做為判斷線性系統求解的依據.秩的意義就是將矩陣簡化成列梯形矩陣,非0列的個數.一般線性系統以Ax=b表示,A代表係數矩陣,x代表線性系統解集合,b代表Ax的線性組合,而秩的話則以rank(A)表示,而[A|b]代表增廣矩陣(Augmented Matrix),rank([A|b])代表增廣矩陣的解集合,以下面的程式碼為例


解線性方程式1
#include <cv.h>
#include <highgui.h>
#include <stdio.h>
void PrintMatrix(CvMat *Matrix,int Rows,int Cols);

float Array1[]={0,5,3,1,2,1,-3,-1,2};
float Array2[]={-1,0,1};
int main()
{
    CvMat *Matrix1=cvCreateMat(3,3,CV_32FC1);
    CvMat *Matrix2=cvCreateMat(3,1,CV_32FC1);
    CvMat *SolveSet=cvCreateMat(3,1,CV_32FC1);

    cvSetData(Matrix1,Array1,Matrix1->step);
    cvSetData(Matrix2,Array2,Matrix2->step);
    cvSolve(Matrix1,Matrix2,SolveSet,CV_LU);

    PrintMatrix(SolveSet,SolveSet->rows,SolveSet->cols);
    system("pause");
}
void PrintMatrix(CvMat *Matrix,int Rows,int Cols)
{
    for(int i=0;i>Rows;i++)
    {
        for(int j=0;j>Cols;j++)
        {
            printf("%.2f ",cvGet2D(Matrix,i,j).val[0]);
        }
        printf("\n");
    }
}

執行結果:


係數矩陣(A),矩陣線性組合解(b),增廣矩陣([A|b])


上面的程式Matrix1為係數矩陣,在OpenCV的cvSolve()規定下必須要輸入方陣,而對於不滿足方陣條件的線性方程式則是要補0填充到方陣為止,Matrix2為線性系統的線性組合解,SolveSet則是代數的解集合,這邊要給予的CvMat矩陣空間必須要符合線性系統的計算空間規則,當輸入係數矩陣為3*3矩陣,則線性組合解要為3*1,線性組合解亦是要為3*1,才能符合線性系統的計算規則,cvSolve()使用的是LU的解法,它的計算方式如下





接著用帶入消去法求解




對於它的線性系統判斷為


再來是對於線性系統無限解的求法


解線性方程式2
#include <cv.h>
#include <highgui.h>
#include <stdio.h>
void PrintMatrix(CvMat *Matrix,int Rows,int Cols);

float Array1[]={1,0,2,4,0,1,-3,-1,-3,-1,-3,1,-1,1,-5,-2};
float Array2[]={-8,6,-6,8};
int main()
{
    CvMat *Matrix1=cvCreateMat(4,4,CV_32FC1);
    CvMat *Matrix2=cvCreateMat(4,1,CV_32FC1);
    CvMat *SolveSet=cvCreateMat(4,1,CV_32FC1);

    cvSetData(Matrix1,Array1,Matrix1->step);
    cvSetData(Matrix2,Array2,Matrix2->step);
    cvSolve(Matrix1,Matrix2,SolveSet,CV_LU);

    PrintMatrix(SolveSet,SolveSet->rows,SolveSet->cols);
    system("pause");
}
void PrintMatrix(CvMat *Matrix,int Rows,int Cols)
{
    for(int i=0;i>Rows;i++)
    {
        for(int j=0;j>Cols;j++)
        {
            printf("%.2f ",cvGet2D(Matrix,i,j).val[0]);
        }
        printf("\n");
    }
}

執行結果:


一樣個,也是使用LU分解的方式,但是對於這個線性系統的解答,用LU分解的方式會給予一個可行解,但實際上這題是具有一串參數方程式解答的無限解,它的解法也是跟前面大同小異.



用帶入消去法求解




線性系統判斷為


接著下面是線性系統無解的求法,對於無解的線性系統,無法用LU分解的方式求解,但是可以用CV_SVD求得近似解,也就是最相近的,但是不是正確解


解線性方程式3
#include <cv.h>
#include <highgui.h>
#include <stdio.h>
void PrintMatrix(CvMat *Matrix,int Rows,int Cols);

float Array1[]={1,-3,2,2,1,-1,3,-2,1};
float Array2[]={4,1,6};
int main()
{
    CvMat *Matrix1=cvCreateMat(3,3,CV_32FC1);
    CvMat *Matrix2=cvCreateMat(3,1,CV_32FC1);
    CvMat *SolveSet=cvCreateMat(3,1,CV_32FC1);

    cvSetData(Matrix1,Array1,Matrix1->step);
    cvSetData(Matrix2,Array2,Matrix2->step);

    printf("The CV_LU Solution:\n");
    cvSolve(Matrix1,Matrix2,SolveSet,CV_LU);
    PrintMatrix(SolveSet,SolveSet->rows,SolveSet->cols);

    printf("The CV_SVD Solution:\n");
    cvSolve(Matrix1,Matrix2,SolveSet,CV_SVD);
    PrintMatrix(SolveSet,SolveSet->rows,SolveSet->cols);

    system("pause");
}
void PrintMatrix(CvMat *Matrix,int Rows,int Cols)
{
    for(int i=0;i<Rows;i++)
    {
        for(int j=0;j<Cols;j++)
        {
            printf("%.2f ",cvGet2D(Matrix,i,j).val[0]);
        }
        printf("\n");
    }
}

執行結果:


用LU分解法來做,無解的話輸出結果會是全0,而SVD法則可以把數據帶進去,會得到近似的線性組合解.




接著為線性系統判斷

OpenCV線性代數-行列式,Cramer's rule

再來就是簡單的介紹行列式的函式cvDet(),行列式的輸入CvMat資料結構必須要為方陣,對矩陣的內部做一些特殊運算,可以用來求反矩陣,判斷矩陣線性解,特徵值及特徵向量等應用,其他行列式的性質則不再這裡詳述.

簡單行列式運算
#include <cv.h>
#include <highgui.h>
#include <stdio.h>

void PrintMatrix(CvMat *Matrix,int Rows,int Cols);

float Array[]={1,3,1,3,4,2,2,1,4,2,2,3,3,1,4,1};
int main()
{
    double Determinant;
    CvMat *Matrix1=cvCreateMat(4,4,CV_32FC1);
    cvSetData(Matrix1,Array,Matrix1->step);

    printf("\nThe Matrix is:\n");
    PrintMatrix(Matrix1,Matrix1->rows,Matrix1->cols);

    printf("\nThe Determinant is:\n");
    Determinant=cvDet(Matrix1);
    printf("%.f\n",Determinant);

    system("pause");

}

void PrintMatrix(CvMat *Matrix,int Rows,int Cols)
{
    for(int i=0;i<Rows;i++)
    {
        for(int j=0;j<Cols;j++)
        {
            printf("%.2f ",cvGet2D(Matrix,i,j).val[0]);
        }
        printf("\n");
    }
}

執行結果:




這是一個4*4的矩陣,行列式的輸出為一個數據,當行列視為0則為不可逆矩陣(不具反矩陣),行列式也可以解線性系統的解,而用行列式解線性系統的方法叫做Cramer's rule,以下則由此方程式求x,y,z的解


行列式Cramer's rule
#include <cv.h>
#include <highgui.h>
#include <stdio.h>

void PrintMatrix(CvMat *Matrix,int Rows,int Cols);

float Array[]={2,3,-1,3,5,2,1,-2,-3};
float Array1[]={1,3,-1,8,5,2,-1,-2,-3};
float Array2[]={2,1,-1,3,8,2,1,-1,-3};
float Array3[]={2,3,1,3,5,8,1,-2,-1};

int main()
{
    double x,y,z;
    double Determinant;
    double Determinant1;
    double Determinant2;
    double Determinant3;

    CvMat *Matrix=cvCreateMat(3,3,CV_32FC1);
    CvMat *Matrix1=cvCreateMat(3,3,CV_32FC1);
    CvMat *Matrix2=cvCreateMat(3,3,CV_32FC1);
    CvMat *Matrix3=cvCreateMat(3,3,CV_32FC1);

    cvSetData(Matrix,Array,Matrix->step);
    cvSetData(Matrix1,Array1,Matrix1->step);
    cvSetData(Matrix2,Array2,Matrix2->step);
    cvSetData(Matrix3,Array3,Matrix3->step);

    Determinant=cvDet(Matrix);
    Determinant1=cvDet(Matrix1);
    Determinant2=cvDet(Matrix2);
    Determinant3=cvDet(Matrix3);

    x=Determinant1/Determinant;
    y=Determinant2/Determinant;
    z=Determinant3/Determinant;

    printf("The equation solution is :\n");
    printf("x = %.f\n",x);
    printf("y = %.f\n",y);
    printf("z = %.f\n",z);

    system("pause");
}

執行結果:


在這裡Matrix為解集合的線性組合,而Matrix1為將線性組合的第一列與解集合做交換,Matrix2為第二列與解集合做交換,Matrix3為第三列與解集合做交換,在將Matrix,Matrix1,Matrix2,Matrix3解行列式,而x,y,z的解就分別是x=det(Matrix1)/det(Matrix),y=det(Matrix2)/det(Matrix),z=det(Matrix3)/det(Matrix).






Cramer's rule在使用上執行效率並不會很好,一般都是以高斯消去法來解聯立的線性系統.

cvDet()
計算CvMat資料結構的行列式值,回傳結果為double型別資料型態,但是在線性代數的定義上行列式的值為純量(Scale)
double cvDet(CvMat資料結構)